10、基差回归中的协整关系：Engle-Granger两步法、Johansen检验、误差修正模型（ECM）
聊到基差回归，有个概念绕不开——协整。
说白了，就是两个看似随机游走的序列，它们之间却存在一种长期稳定的关系。基差就是这样。现货和期货各自涨跌，但价差总会回归。这不是巧合，而是协整在背后起作用。
我刚开始做基差交易时，犯过一个低级错误：直接用价格做回归，结果R²高得离谱，但一跑回测就亏钱。后来才明白，那是伪回归。两个非平稳序列硬凑在一起，统计上好看，实际上一塌糊涂。
所以，今天咱们就彻底搞懂协整。我会把Engle-Granger两步法、Johansen检验、误差修正模型（ECM）这三个工具讲透。都是实战中我反复用过的。
核心观点：基差回归的前提，是现货和期货之间存在协整关系。没有协整，一切回归都是空中楼阁。
10.1 协整的基本概念
先问一个问题：为什么两个随机游走的序列，它们的线性组合可以是平稳的？
举个例子。你牵着一条狗散步。狗跑来跑去（随机游走），你也走来走去（随机游走）。但狗绳的长度是固定的。狗离你太远，绳子就会把它拉回来。这个“绳子长度”就是协整关系。
在期货市场里，现货价格和期货价格就是那条狗和那个人。基差就是那根绳子。绳子不会无限拉长，总会回归。
协整的数学定义是这样的：
- 如果两个时间序列 \( X_t \) 和 \( Y_t \) 都是 I(1)（一阶单整）
- 但存在一个线性组合 \( Z_t = Y_t - \beta X_t \) 是 I(0)（平稳）
- 那么 \( X_t \) 和 \( Y_t \) 就是协整的
嗯，这里要注意：协整的前提是单整阶数相同。如果一个是I(1)，另一个是I(2)，那它们不可能协整。我在项目中遇到过这种情况——螺纹钢现货和远月合约，单整阶数就不一样，硬做回归就是找死。
10.2 Engle-Granger两步法
这是最经典的协整检验方法。名字听着唬人，其实逻辑很简单。
第一步：估计长期关系
用普通最小二乘法（OLS）跑一个回归：
# Python示例：Engle-Granger第一步
import statsmodels.api as sm
import numpy as np
# 假设spot和futures是两个价格序列
spot = np.array([...]) # 现货价格
futures = np.array([...]) # 期货价格
# 回归：spot = alpha + beta * futures + epsilon
X = sm.add_constant(futures)
model = sm.OLS(spot, X).fit()
beta = model.params[1]
residuals = model.resid # 这就是估计的基差
print(f"估计的beta系数: {beta:.4f}")这一步得到的残差，就是我们估计的基差序列。注意，这个残差不是真实的基差（现货-期货），而是经过beta调整后的价差。
个人习惯：我一般会先做ADF检验，确认两个序列都是I(1)。别偷懒，这一步省了，后面全是错的。
第二步：检验残差的平稳性
对上一步的残差做ADF检验。如果残差是平稳的，就说明存在协整关系。
# Python示例：Engle-Granger第二步
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller
adf_result = adfuller(residuals, maxlag=1)
p_value = adf_result[1]
if p_value < 0.05:
print("残差平稳，存在协整关系")
else:
print("残差不平稳，不存在协整关系")这里有个坑：临界值不能用标准的ADF临界值。因为残差是估计出来的，不是真实值。Engle和Granger给出了专门的临界值表。不过现在统计软件都自动处理了，你直接用p值判断就行。
我曾经踩过的坑：有一次我用EG两步法检验豆粕和豆油的协整关系，ADF检验显示p=0.04，刚好显著。我兴冲冲地建了模型，结果实盘亏得一塌糊涂。后来发现，样本内刚好碰上了某个特殊行情，残差看起来平稳，但样本外根本不成立。所以，一定要做样本外验证。
10.3 Johansen检验
EG两步法有个硬伤：它只能处理两个变量之间的协整关系。而且它假设协整向量只有一个。如果你有多个变量（比如同时考虑三个不同期限的期货合约），EG两步法就力不从心了。
这时候，Johansen检验就派上用场了。
Johansen检验的核心思想是：通过向量自回归（VAR）模型，检验协整向量的个数。它给出两个统计量：
- 迹统计量（Trace Statistic）：检验协整向量个数是否小于等于r
- 最大特征值统计量（Max Eigenvalue Statistic）：检验协整向量个数是否等于r
# Python示例：Johansen检验
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen
# 假设data是一个包含多个价格序列的DataFrame
# 比如：['spot', 'futures_1m', 'futures_3m', 'futures_6m']
johansen_result = coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)
# 输出迹统计量
print("迹统计量:", johansen_result.lr1)
print("临界值(95%):", johansen_result.cvt[:, 1])
# 输出最大特征值统计量
print("最大特征值统计量:", johansen_result.lr2)
print("临界值(95%):", johansen_result.cvm[:, 1])输出结果怎么看？我一般这样判断：
- 如果迹统计量大于临界值，拒绝原假设，说明至少存在r+1个协整向量
- 从r=0开始，依次往上检验，直到无法拒绝原假设为止
实战建议：Johansen检验对滞后阶数很敏感。我习惯用AIC或BIC准则选择最优滞后阶数。别用默认值，那通常是给时间序列课的学生准备的，不是给实战交易员用的。
10.4 误差修正模型（ECM）
好了，现在我们确认了协整关系。然后呢？
EG两步法告诉我们长期关系是什么。但短期偏离怎么修正？修正速度有多快？这就是ECM要回答的问题。
ECM的基本形式是这样的：
\[ \Delta Y_t = \alpha + \gamma \cdot Z_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \beta_i \Delta Y_{t-i} + \sum_{j=1}^{q} \delta_j \Delta X_{t-j} + \epsilon_t \]
其中 \( Z_{t-1} = Y_{t-1} - \beta X_{t-1} \) 就是上一期的基差偏离。\( \gamma \) 就是修正速度——它必须是负数，否则系统不会回归。
# Python示例：误差修正模型
import statsmodels.api as sm
# 假设我们已经从EG第一步得到了残差（基差偏离）
# residuals = spot - beta * futures
# 计算差分
d_spot = np.diff(spot)
d_futures = np.diff(futures)
z_lag = residuals[:-1] # 滞后一期的基差偏离
# 构建ECM回归
X_ecm = sm.add_constant(np.column_stack([z_lag, d_futures]))
model_ecm = sm.OLS(d_spot, X_ecm).fit()
print(model_ecm.summary())
# 重点关注z_lag的系数，它应该是负的且显著ECM的系数解读：
- γ（修正速度）：比如γ=-0.3，意味着上一期偏离的30%会在本期被修正。γ的绝对值越大，回归越快。
- 短期动态项：ΔX的系数反映了短期冲击的传导效应。
我个人的经验：γ的绝对值一般在0.1到0.5之间。如果γ接近0，说明协整关系很弱，基差回归很慢，不适合做均值回归策略。如果γ接近-1，说明修正极快，但这种情况在期货市场很少见——通常意味着套利空间瞬间被抹平。
10.5 知识体系总览
说了这么多，咱们用一张图把整个逻辑串起来：
这张图把整个流程串起来了。你从左上角开始，先做ADF检验，然后根据变量个数选择EG两步法或Johansen检验，最后用ECM量化回归速度。每一步都有坑，但每一步也都有对应的解决方案。
10.6 实战中的几点提醒
最后，分享几个我在实战中总结的经验：
- 样本内拟合好，不代表样本外也能赚钱。协整关系会随时间变化。我一般每3个月重新估计一次协整系数。
- 不要迷信p值。p=0.049和p=0.051没有本质区别。结合经济意义判断，别只看统计显著性。
- ECM的修正速度γ，是策略参数的重要参考。γ太小，说明回归慢，持仓周期要拉长；γ太大，说明回归快，适合短线交易。
- 多品种协整时，Johansen检验比EG两步法更可靠。但Johansen检验对滞后阶数敏感，一定要做敏感性分析。
重要提醒：协整关系存在，不代表基差一定会回归到均值。它只说明长期来看，价差不会无限发散。但短期可能偏离很大，甚至持续很长时间。我见过一个品种，基差偏离了3个标准差，持续了2个月才回归。如果你仓位管理不好，早就爆仓了。
好了，协整这部分就聊到这儿。记住一句话：没有协整的基差回归，就是没有地基的高楼。下一节咱们会聊到如何用这些工具构建实际的交易策略，到时候这些概念都会用上。
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