6、一元线性回归模型：模型设定、参数估计、R方与调整R方、残差分析

聊到基差交易，我们总得有个趁手的工具。一元线性回归，说白了就是最基础的那把尺子。别小看它，我做了这么多年交易，很多复杂的策略，底层逻辑拆开来看，还是这玩意儿。今天我们就把它彻底聊透。

6.1 模型设定：先画条线

一元线性回归，就是研究一个X怎么影响一个Y。在基差交易里，X可以是现货价格，Y可以是期货价格。我们想找的就是它们之间那条最“靠谱”的直线。

数学上长这样：

Y = β₀ + β₁X + ε

这里：

• Y：因变量，我们想预测的东西（比如期货价格）
• X：自变量，我们手里的信息（比如现货价格）
• β₀：截距，当X=0时Y的值。嗯，现实中很少出现，但数学上得有它
• β₁：斜率，X每变动一个单位，Y跟着变多少。这是核心参数
• ε：误差项，模型没解释清楚的部分。说白了就是“运气”或者“噪音”

我个人习惯，在设定模型前，一定会先画个散点图。看一眼数据长什么样，心里才有底。别上来就咔咔跑回归，那是新手干的事。

6.2 参数估计：最小二乘法

模型设好了，怎么找到最好的β₀和β₁？最常用的方法就是普通最小二乘法（OLS）。

它的核心思想很简单：让所有数据点到我们画的这条直线的垂直距离的平方和最小。为什么是平方？因为这样能放大那些偏离很远的点，让模型更在意“大错误”。

公式推导我就不展开了，直接给结论：

β₁ = Σ[(Xᵢ - X̄)(Yᵢ - Ȳ)] / Σ[(Xᵢ - X̄)²]
β₀ = Ȳ - β₁X̄

看着复杂？其实你想想看，β₁就是X和Y的“协方差”除以X的“方差”。说白了，就是看X和Y一起变动的程度，相对于X自己变动的程度。

用Python实现就几行代码：

import statsmodels.api as sm
import numpy as np

# 假设X和Y是准备好的数据
X = sm.add_constant(X)  # 加一列常数项，对应β₀
model = sm.OLS(Y, X).fit()
print(model.params)  # 输出β₀和β₁

6.3 R方与调整R方：模型好不好？

参数估出来了，模型好不好用？这时候就得看R方了。

R方的定义：

R² = 1 - (SS_res / SS_tot)

其中：

• SS_res：残差平方和，模型没解释的部分
• SS_tot：总平方和，Y本身的波动

R方的取值范围是[0, 1]。越接近1，说明模型解释得越好。但这里有个坑——R方会随着自变量数量的增加而自动变大，哪怕加进去的是个没用的变量。

所以就有了调整R方：

Adjusted R² = 1 - [(1 - R²)(n - 1) / (n - k - 1)]

n是样本量，k是自变量个数。调整R方会对“多出来的变量”进行惩罚。在一元回归里，R方和调整R方差别不大。但如果你以后做多元回归，一定要看调整R方。

指标	优点	缺点
R方	直观，容易理解	会随变量增加而虚高
调整R方	惩罚多余变量，更客观	计算稍复杂，但软件都帮你算了

6.4 残差分析：模型到底行不行？

R方再高，也不代表模型真的靠谱。真正能看出问题的，是残差。

残差 = 实际值 - 预测值。说白了，就是模型“猜错”的部分。

残差分析主要看三点：

1. 残差是否随机分布：如果残差有明显的趋势或周期性，说明模型漏掉了重要信息
2. 残差是否等方差：如果残差的波动幅度随着X变化而变化，这叫异方差性，会影响参数估计的可靠性
3. 残差是否正态分布：虽然OLS对正态性要求不那么严格，但如果残差严重偏态，会影响统计推断

我一般会画两张图：

import matplotlib.pyplot as plt
import statsmodels.api as sm

# 残差图
plt.scatter(model.fittedvalues, model.resid)
plt.axhline(y=0, color='r', linestyle='--')
plt.xlabel('拟合值')
plt.ylabel('残差')
plt.show()

# Q-Q图检查正态性
sm.qqplot(model.resid, line='s')
plt.show()

残差分析还有一个重要用途：发现异常值。如果某个时间点的残差特别大（比如超过3倍标准差），那这个点可能就是你的交易机会——基差偏离了正常范围，迟早要回归。

嗯，这就是一元线性回归的全貌。工具虽简单，但用好了，在基差交易里能帮你省不少事。记住：模型只是辅助，最终决策还得靠你对市场的理解。